研究テーマResearch Theme

自然界に「無限大」は
あってよいのか？Can Infinity Really Exist in Nature?

量子場の理論を第一原理から考え直すRethinking Quantum Field Theory from First Principles

現在の物理学の基礎理論である場の理論(Field Theory)では、実験で測定される量(観測量)を計算すると「無限大（∞）」が現れることがあります。In field theory (Field Theory) — today's foundational theory of physics — calculating a quantity that's actually measured in experiments (an observable) can sometimes produce "infinity."

この無限大を処理するために、20世紀の物理学では「繰り込み」という方法が確立されました。量子電磁力学（Quantum Electrodynamics, QED）はその方法によって、実験と驚くほど高い精度で一致する理論となりました。To handle this infinity, 20th-century physics established a method called "renormalization." Through it, quantum electrodynamics (QED) became a theory that matches experiment to a remarkable degree of precision.

しかし、ここで一つの問いが残ります。そもそも、なぜ無限大（∞）が現れるのでしょうか？But one question remains. Why does infinity appear in the first place?

問いThe Question

なぜ、理論の計算に無限大（∞）が現れるのか？Why Does Infinity Show Up in the Calculation?

自然界で観測される物理量は、常に有限です。ところが、場の理論では、現実で観測される量(観測量)を計算すると、「無限大（∞）」が現れることがあります。このように、答えが「発散」する(無限大になる)問題は、場の理論の基礎にあたるQEDが誕生して以来、長く存在してきました。The physical quantities we observe in nature are always finite. And yet, in field theory, calculating an observable that corresponds to something real can sometimes produce "infinity." This problem — where the answer "diverges," or becomes infinite — has persisted for a long time, ever since the birth of QED, the very foundation of field theory.

自然界を記述する理論に「無限大（∞）」が現れる。では、それは何を意味しているのでしょうか。Infinity appears in the theory that describes nature. So what does that actually mean?

この問いはQEDの誕生以来、物理学者たちが向き合ってきた問題です。まずは、その歴史を振り返ります。This is a question physicists have grappled with since the birth of QED. Let's start by looking back at that history.

出発点Where It Starts

QEDの誕生、無限大の問題、そして繰り込みThe Birth of QED, the Problem of Infinity, and Renormalization

QEDの誕生The Birth of QED

1928年、Diracが電子の相対論的な運動方程式を発見。1929年、HeisenbergとPauliにより、電磁相互作用を量子論として扱う枠組み——QED——が確立されました。In 1928, Dirac discovered the relativistic equation of motion for the electron. In 1929, Heisenberg and Pauli established the framework for treating the electromagnetic interaction as a quantum theory — QED.

無限大（∞）の問題The Problem of Infinity

電子や光子の自己エネルギーを計算すると、無限大が現れることが分かりました。1930年にOppenheimer、1934年にWeisskopfがこれを明らかにしています。Calculating the self-energy of the electron or photon was found to produce infinity. Oppenheimer showed this in 1930, and Weisskopf clarified it further in 1934.

繰り込み理論Renormalization Theory

朝永・Schwinger・Feynman・Dysonにより、無限大（∞）を質量や電荷の再定義の中に押し込め、観測量からは取り除く「繰り込み」という方法が確立されました。Tomonaga, Schwinger, Feynman, and Dyson established "renormalization" — a method for absorbing infinity into redefinitions of mass and charge, removing it from the observable quantity.

90年の歴史A 90-Year History

物理学は、無限大（∞）とどう向き合ってきたかHow Physics Has Confronted Infinity

QEDの誕生から今日まで、この「無限大（∞）」をめぐる歴史を、年代を追って辿ります。From the birth of QED to today, here is the history of this question about infinity, traced year by year.

1928〜1930年–1930

Dirac方程式とQEDの誕生The Dirac Equation and the Birth of QED

Diracが電子の運動方程式を発見(1928)、HeisenbergとPauliがQEDの基礎を確立(1929)。同じ頃、Oppenheimerが電子の自己エネルギーの発散を初めて指摘しました(1930)。[1]Dirac discovered the electron's equation of motion (1928); Heisenberg and Pauli established the foundations of QED (1929). Around the same time, Oppenheimer first pointed out the divergence in the electron's self-energy (1930).[1]

1934

対数発散の確定The Divergence Is Pinned Down

Weisskopfが、陽電子の寄与を正しく取り入れて電子の自己エネルギーが対数発散 log(∞) であることを示し、光子の自己エネルギーに2次発散があることも明らかにしました。[2]Weisskopf, correctly accounting for the positron, showed the electron's self-energy diverges only logarithmically, and also uncovered a quadratic divergence in the photon's self-energy.[2]

1943〜1949年–1949

繰り込み理論の確立Renormalization Theory Takes Shape

朝永(1943)[3]、Schwinger(1948)[4]、Feynman(1948)[5]がそれぞれ共変的な計算手法を確立し、Dyson(1949)[6]がこれらの等価性を証明。無限大（∞）を観測量から取り除く体系が完成しました(3氏は1965年ノーベル賞受賞)。Tomonaga (1943)[3], Schwinger (1948)[4], and Feynman (1948)[5] each established covariant calculational methods, and Dyson (1949)[6] proved their equivalence. A complete system for removing infinity from observables was now in place (the three shared the 1965 Nobel Prize).

1948

g-2、最初の計算g−2, the First Calculation

Schwingerが電子の異常磁気モーメント(g-2)を初めて計算(α/2π)。[7]しかし光子のバーテックス補正には対数発散が残ったままでした。Schwinger produced the first calculation of the electron's anomalous magnetic moment (g−2), giving α/2π.[7] But the photon vertex correction inside it retained a logarithmic divergence.

1969

西島、そして分かれた道Nishijima, and a Fork in the Road

西島は著書『Fields and Particles』[8]で三角形図を精密に計算し、π0→2γを再現する有限の結果を得ました。同じ年、Adler[9]およびBellとJackiw[10]は"Chiral Anomaly"として逆の結果(発散がある)を導き、以後広く定着していきます。In Fields and Particles,[8] Nishijima carried out an exact calculation of the triangle diagram, obtaining a finite result reproducing π0→2γ. That same year, Adler,[9] and separately Bell and Jackiw,[10] derived the opposite — a divergent — result under the name "chiral anomaly," which took hold widely from there.

※このサイトの立場：カイラル・アノマリーは計算上の見落としに由来するというのが、藤田らの研究に連なる本サイトの立場です。物理学界で広く受け入れられている標準的な解釈とは異なります。Note: this site's position — in line with the research of Fujita and colleagues — is that the chiral anomaly stems from a computational oversight. This differs from the interpretation widely accepted in the physics community.

2003〜2004年–2004

藤田ら、既存の理論を再検討するFujita and Colleagues Reexamine Established Theory

藤田はHiramoto・Takahashiらとともに、南部・ヨナ=ラシニオ模型やThirring模型の自発的対称性の破れを改めて検討しました。Together with Hiramoto and Takahashi, Fujita reexamined spontaneous symmetry breaking in the Nambu–Jona-Lasinio and Thirring models.

教科書的には「ゴールドストン粒子が現れる」とされていた結論を自ら計算し直し、そこに問題があることを指摘しました（2003年、2004年）。[11]He recalculated, for himself, the textbook conclusion that a Goldstone boson appears, and pointed out a problem with it (2003, 2004).[11]

2007〜2011年–2011

三角形図の発散を再検討するReexamining the Divergence in the Triangle Diagram

この「既存の結果を自ら確かめ直す」という姿勢は、カイラル・アノマリーの問題にも向けられました。This same habit — checking established results for himself — was also turned toward the chiral anomaly.

藤田は2007年の著書[12]でAdlerらの計算に問題がある可能性を指摘。2011年には藤田・神田らが、Z0→2γを含む三角形図を改めて計算し[13]、発散のない有限な結果を示しました。Fujita raised the possibility of a problem in Adler's calculation in his 2007 book.[12] In 2011, Fujita, Kanda, and colleagues recalculated the triangle diagrams involving Z0→2γ,[13] and showed a finite result with no divergence.

ここで、西島の計算が改めて支持されることになります。This lent renewed support to Nishijima's calculation.

ただし、g-2に関わるバーテックス補正には、なお対数発散が残っていました。Even so, the vertex correction tied to g−2 still carried a logarithmic divergence.

2013

一連の研究をまとめるBringing the Work Together

藤田・神田の著書『Fundamental Problems in Quantum Field Theory』[14]で、それまでの研究が体系的にまとめられました。Fujita and Kanda's Fundamental Problems in Quantum Field Theory[14] brought this research together systematically.

理論形式（三角形図）の観点から見ると、g-2を除き、観測量に発散は残っていませんでした。From the standpoint of the theory's structure — the triangle diagram — no divergence remained in the observable, except for g−2.

理論体系の視点で残された問題は、g-2に関わる光子のバーテックス補正でした。From the standpoint of the theoretical framework, what remained was the photon vertex correction tied to g−2.

2013年からの整理Building on the 2013 Book

「観測量には発散がないのではないか？」"Perhaps the Observable Has No Divergence After All"

2013年の藤田・神田の著書『Fundamental Problems in Quantum Field Theory』[14]では、それまで検討されてきた三角形図に関する研究が整理されました。理論の形式(三角形図)という観点から見ると、フォトンのg-2を除くすべてのケースで、観測量に関わる発散はないことが、示されました。Fujita and Kanda's 2013 book, Fundamental Problems in Quantum Field Theory,[14] brought together the triangle-diagram research examined up to that point. From the standpoint of the theory's own structure — the triangle diagram — every case except the photon's g−2 had already been shown to carry no divergence in the observable.

自己エネルギーSelf-Energy粒子が自分自身と相互作用するA particle interacts with itself

外部に光子が出るA Photon Escapes三角形図(triangle diagram)になるThis forms the triangle diagram

観測量との関係Tied to an Observableここで初めて発散が問題になり得るOnly here can the divergence actually matter

つまり、「自然界に「無限大」はあってよいのか？」という長年の問いに対して、残された問題は——g-2に関わる光子(Photon)の頂点補正(Vertex Correction)だけになったのです。In other words, of everything bearing on the long-standing question "can infinity really exist in nature?" — only one case was left: the photon vertex correction tied to g−2.

最後に残った問いThe One Question Left

g-2 / 頂点補正 (vertex correction)g−2 / The Vertex Correction

電子の自己エネルギーに関係する頂点補正のうち、特に重要なのが電子の異常磁気モーメント g-2 です。Among the vertex corrections tied to the electron's self-energy, the most important is the electron's anomalous magnetic moment, g−2.

g − 2 = α / π (Schwinger, 1948)

1948年、Schwingerによるこの計算は、QEDの成功を象徴する重要な結果でした。しかし、従来のFeynmanの光子伝播関数を使うと、頂点補正の計算には対数発散が現れてしまいます。Schwinger's 1948 calculation was an important result symbolizing QED's success. But using the conventional Feynman photon propagator, the vertex correction calculation produces a logarithmic divergence.

なぜ、観測される磁気モーメントの計算だけに、無限大（∞）が残り続けたのでしょうか。Why did infinity keep turning up, alone among all these cases, in the calculation of a quantity we actually observe?

研究テーマMy Research Theme

つまり問いは、こういうことです。In other words, the question comes down to this:

自然界を記述する理論の観測量に「無限大∞」は現れてよいのか Should infinity really be allowed to appear in the observable quantities of a theory that describes nature?

これまで見てきたように、理論の計算に現れる無限大（∞）は、繰り込みという手続きによって処理されてきました。しかし、その手続きに頼る以前に、そもそも物理的観測量に無限大（∞）は現れるのは不自然——これが出発点です。As we've seen, the infinity that appears in the theory's calculations has been handled through the procedure of renormalization. But before relying on that procedure, there's something unnatural about a physical observable containing infinity in the first place — that is the starting point.

研究の方向性The Direction of This Research

ゼロ視点で理論を見直すRethinking the Theory From Zero

繰り込みという手続きの背後には、光子の伝播関数など、これまで当然のものとして使われてきた計算上の道具立てがあります。これらの前提を一つひとつ見直します。Behind the procedure of renormalization sit a number of calculational tools — the photon propagator among them — that have long been taken for granted. I am revisiting these premises one at a time.

光子の伝播関数は、その代表的な一例です。既存の計算手法を出発点とするのではなく、光子が満たす基本的な運動方程式や物理的条件にまで立ち返って考え直す——そうした見直しの中から、これまで見過ごされてきた条件が見えてくることがあります。The photon propagator is one representative example. Rather than taking the conventional calculational method as a given starting point, I return to the basic equation of motion and physical conditions the photon must satisfy. Reexamining things from there sometimes reveals conditions that had previously gone unnoticed.

現在地Where Things Stand

繰り込み関連の計算、5つのケースFive Cases in the Renormalization Story

観測量に関わる発散が問題になり得るファインマン図は、次の5つに整理できます。上から4つはすでに有限性が確認されており、5つ目の光子によるバーテックス補正だけが、長らく対数発散 log(∞) していました。The Feynman diagrams where a divergence in an observable could actually matter come down to five cases. The first four were already known to be finite; only the fifth — the photon vertex correction — was long held to diverge logarithmically.

ファインマン図Feynman Diagram	発散度Degree of Divergence	状況Status
γ⁵ バーテックスの三角形図（π0 → 2γ）γ⁵ vertex triangle diagram (π0 → 2γ)	—	Finite
スカラーバーテックスの三角形図Scalar vertex triangle diagram	—	Finite
γᵘγ⁵ バーテックスの三角形図（Z0 → 2γ）γᵘγ⁵ vertex triangle diagram (Z0 → 2γ)	—	Finite
バーテックス補正（有限質量ベクトルボソン）Vertex correction (massive vector boson)	—	Finite
バーテックス補正（光子）[g-2 の計算]Vertex correction (photon) [the g−2 calculation]	従来：対数発散Previously: logarithmic	2026年、新計算で有限に2026 — Shown Finite in New Calculation

研究ノートへの導線Continue to the Research Note

この研究テーマから生まれた、一つの成果One Result From This Research Theme

その研究の一環として、2026年8月にレプトンの頂点補正に関する論文をJxivで公開しました。As part of this research, I published a paper on the vertex correction of leptons on Jxiv in August 2026.

A Novel Calculation of Vertex Corrections of LeptonsA Novel Calculation of Vertex Corrections of Leptons

光子の伝播関数をどのように見直したのか、計算の詳細やその結果については、研究ノートにまとめています。How the photon propagator was reconsidered, and the details and results of the calculation, are written up in the research note.

研究ノートを読む →Read the Research Note → Jxivで論文を読む →Read the Paper on Jxiv →

もう一度、問いへBack to the Question