研究ノートResearch Note
「無限大」は
本当に必要なのか？Is Infinity Really Necessary?
量子場の理論を第一原理から考え直すRethinking Quantum Field Theory from First Principles
量子場の理論では、計算の途中に「無限大」が現れることがあります。In quantum field theory, calculations sometimes produce "infinity" partway through.
その無限大を処理するために、20世紀の物理学では「繰り込み」という方法が確立されました。QEDはその方法によって、実験と驚くほど高い精度で一致する理論となりました。To deal with that infinity, 20th-century physics established a method called "renormalization." Through it, QED became a theory that matches experiment to a remarkable degree of precision.
しかし、ここで一つの問いが残ります。そもそも、なぜ無限大が現れるのでしょうか？But one question remains. Why does infinity appear in the first place?
問いThe Question
なぜ、理論の計算に無限大が現れるのか？Why Does Infinity Show Up in the Calculation?
自然界で観測される物理量は、常に有限です。ところが理論計算のある段階では、無限大が現れます。この問題はQEDの誕生以来、ずっと存在してきました。The physical quantities we observe in nature are always finite. And yet, at a certain stage of the theoretical calculation, infinity appears. This problem has existed for as long as QED itself.
自然界に「無限大」があるのではなく、理論の計算の中に無限大が現れる。では、それは何を意味しているのでしょうか。Infinity does not exist in nature — it appears inside the theory's calculation. So what does that actually mean?
出発点Where It Starts
QEDの誕生、無限大の問題、そして繰り込みThe Birth of QED, the Problem of Infinity, and Renormalization
QEDの誕生The Birth of QED
1928年、Diracが電子の相対論的な運動方程式を発見。1929年、HeisenbergとPauliにより、電磁相互作用を量子論として扱う枠組み——QED——が確立されました。In 1928, Dirac discovered the relativistic equation of motion for the electron. In 1929, Heisenberg and Pauli established the framework for treating the electromagnetic interaction as a full quantum theory — QED.
無限大の問題The Problem of Infinity
電子や光子の自己エネルギーを計算すると、無限大が現れることが分かりました。1930年にOppenheimer、1934年にWeisskopfがこれを明らかにしています。Calculating the self-energy of the electron or photon was found to produce infinity. Oppenheimer showed this in 1930, and Weisskopf clarified it further in 1934.
繰り込み理論Renormalization Theory
朝永・Schwinger・Feynman・Dysonにより、無限大を質量や電荷の再定義の中に押し込め、観測量からは取り除く「繰り込み」という方法が確立されました。Tomonaga, Schwinger, Feynman, and Dyson established "renormalization" — a method for absorbing infinity into redefinitions of mass and charge, removing it from the observable quantity.
90年の歴史A 90-Year History
発散から、最後の一点へFrom Divergence to the Last Remaining Point
QEDの誕生から今日まで、この「無限大」をめぐる歴史を、年代を追って辿ります。From the birth of QED to today, here is the history of this question about infinity, traced year by year.
Dirac方程式とQEDの誕生The Dirac Equation and the Birth of QED
Diracが電子の運動方程式を発見(1928)、HeisenbergとPauliがQEDの基礎を確立(1929)。同じ頃、Oppenheimerが電子の自己エネルギーの発散を初めて指摘しました(1930)。Dirac discovered the electron's equation of motion (1928); Heisenberg and Pauli established the foundations of QED (1929). Around the same time, Oppenheimer first pointed out the divergence in the electron's self-energy (1930).
対数発散の確定The Divergence Is Pinned Down
Weisskopfが、陽電子の寄与を正しく取り入れて電子の自己エネルギーが対数発散であることを示し、光子の自己エネルギーに2次発散があることも明らかにしました。Weisskopf, correctly accounting for the positron, showed the electron's self-energy diverges only logarithmically, and also uncovered a quadratic divergence in the photon's self-energy.
繰り込み理論の確立Renormalization Theory Takes Shape
朝永(1943)、Schwinger(1948)、Feynman(1948)がそれぞれ共変的な計算手法を確立し、Dyson(1949)がこれらの等価性を証明。無限大を観測量から取り除く体系が完成しました(3氏は1965年ノーベル賞受賞)。Tomonaga (1943), Schwinger (1948), and Feynman (1948) each established covariant calculational methods, and Dyson (1949) proved their equivalence. A complete system for removing infinity from observables was now in place (the three shared the 1965 Nobel Prize).
g-2、最初の計算g−2, the First Calculation
Schwingerが電子の異常磁気モーメント(g-2)を初めて計算(α/2π)。しかし光子のバーテックス補正には対数発散が残ったままでした。Schwinger produced the first calculation of the electron's anomalous magnetic moment (g−2), giving α/2π — but the photon vertex correction inside it retained a logarithmic divergence.
西島、そして分かれた道Nishijima, and a Fork in the Road
西島は著書『Fields and Particles』で三角形図を精密に計算し、π0→2γを再現する有限の結果を得ました。同じ年、AdlerおよびBellとJackiwは"Chiral Anomaly"として逆の結果(発散がある)を導き、以後広く定着していきます。In Fields and Particles, Nishijima carried out an exact calculation of the triangle diagram, obtaining a finite result reproducing π0→2γ. That same year, Adler, and separately Bell and Jackiw, derived the opposite — a divergent — result under the name "chiral anomaly," which took hold widely from there.
藤田ら、問題を検討し直すFujita and Colleagues Reopen the Question
藤田が2007年の著書でAdlerらの計算に問題がある可能性を指摘。2011年、藤田・神田らによる共同研究「T-matrix of Z0 Decay into Two Photons」で、Z0→2γを含むすべての三角形図に発散がないことが示され、西島の結果が正しいことが確定しました。この時点でも、バーテックス補正(g-2に関わる計算)には対数発散がなお残っていました。Fujita raised the possibility of a problem in Adler's calculation in his 2007 book. In 2011, Fujita, Kanda, and colleagues' "T-matrix of Z0 Decay into Two Photons" showed every triangle diagram — including Z0→2γ — to be free of divergences, confirming Nishijima's result. Even so, the vertex correction relevant to g−2 still carried a logarithmic divergence.
一連の研究をまとめるBringing the Work Together
藤田・神田の著書『Fundamental Problems in Quantum Field Theory』で、これらの研究が体系的にまとめられました。残る課題は、光子によるバーテックス補正——g-2の計算——ただ一つになります。Fujita and Kanda's Fundamental Problems in Quantum Field Theory drew this work together systematically. What remained was down to a single case: the photon vertex correction — the g−2 calculation.
私の研究My Research
光子の伝播関数を第一原理から見直し、この頂点補正の発散問題を改めて検討しています。次の章で、その内容を紹介します。I am revisiting the photon propagator from first principles and reexamining the divergence problem in this vertex correction. The sections below describe what that involves.
自己エネルギーと観測量Self-Energy and the Observable
「計算の中の無限大」と「観測される量」は同じなのか？Is the Infinity in the Calculation the Same as What We Observe?
QEDでは、電子や光子が自分自身と相互作用する「自己エネルギー」という計算が現れ、ここに発散があります。しかし自己エネルギーそのものは、直接観測する物理量ではありません。重要なのは、最終的に観測される物理量にも無限大が残るのか、ということです。In QED, a calculation called "self-energy" arises — a particle interacting with itself — and it diverges. But self-energy itself is not a directly observed quantity. What matters is whether infinity survives in the quantity that is actually observed.
この「外部に光子などが出る」形になったとき初めて、観測量との関係が生じ、発散が問題になり得ます。Only once a photon (or similar) exits the diagram does it connect to something observable — and only then can the divergence actually matter.
西島から藤田・神田へFrom Nishijima to Fujita and Kanda
「観測量には発散がないのではないか？」"Perhaps the Observable Has No Divergence After All"
西島の計算Nishijima's Calculation
π0→2γの計算で、自己エネルギーに発散があっても、物理的な観測量には発散が現れない可能性が示唆されました。His π0→2γ calculation suggested that, even with a divergent self-energy, the physically observed quantity might carry no divergence at all.
Adler / Bell / JackiwAdler / Bell / Jackiw
"Chiral Anomaly"として、逆の結果(発散がある)が発表され、問題はさらに深くなります。The opposite result — a divergence — was published under the name "chiral anomaly," and the problem grew more entangled.
藤田らの三角形図研究Fujita and Colleagues on the Triangle Diagram
藤田らが三角形図の計算を改めて検討しました。Fujita and colleagues reexamined the triangle-diagram calculation.
Z0 → γ + γZ0 → γ + γ
藤田・神田らが、この過程を含むすべての三角形図に発散がないことを示しました。Fujita, Kanda, and colleagues showed every triangle diagram involving this process to be free of divergences.
この歴史を通じて、「観測される物理量に本当に発散は必要なのか？」という問いが浮かび上がります。Across this history, one question keeps resurfacing: does an observed physical quantity really need to carry a divergence?
最後に残った問題The One Problem Left
g-2 / 頂点補正 (vertex correction)g−2 / The Vertex Correction
電子の自己エネルギーに関係する頂点補正のうち、特に重要なのが電子の異常磁気モーメント g-2 です。Among the vertex corrections tied to the electron's self-energy, the most important is the electron's anomalous magnetic moment, g−2.
1948年、Schwingerによるこの計算は、QEDの成功を象徴する重要な結果でした。しかし、従来のFeynmanの光子伝播関数を使うと、頂点補正の計算には対数発散が現れてしまいます。Schwinger's 1948 calculation stands as one of the results that made QED's success. But using the conventional Feynman photon propagator, the vertex correction calculation produces a logarithmic divergence.
なぜ、観測される磁気モーメントの計算に無限大が現れるのでしょうか。Why does infinity appear in the calculation of a quantity we actually observe?
光子伝播関数の再検討Revisiting the Photon Propagator
光子の伝播関数を、ゼロから見直すReconsidering the Photon Propagator from Zero
光子の運動方程式から、次の条件が得られます。Starting from the photon's equation of motion gives the following condition.
この条件を満たす光子伝播関数を出発点として、電子の頂点補正を再計算しました。その結果、従来の計算で現れていた紫外発散が現れず、繰り込みを行わなくても有限な結果が得られる可能性が見えてきました。Starting from a photon propagator that satisfies this condition, I recalculated the electron's vertex correction. The result: the ultraviolet divergence that appeared in the conventional calculation does not show up — pointing to the possibility of a finite result without renormalization at all.
ここは研究内容の核心です。数式やファインマン図を使った専門的な説明は、下記の論文でご確認いただけます。This is the core of the research. A full technical treatment, with the relevant equations and Feynman diagrams, is available in the paper linked below.
従来理論との違いWhat Changes
「無限大を処理する」か、「無限大が現れない理論を考える」かProcessing Infinity, or Building a Theory Where It Never Appears
従来の考え方The Conventional Approach
私が考えている方向The Direction I'm Taking
研究の現在地Where Things Stand
繰り込み関連の計算、5つのケースFive Cases in the Renormalization Story
観測量に関わる発散が問題になり得るファインマン図は、次の5つに整理できます。上から4つはすでに有限性が確認されており、5つ目の光子によるバーテックス補正だけが、長らく対数発散するとされてきました。The Feynman diagrams where a divergence in an observable could actually matter come down to five cases. The first four were already known to be finite; only the fifth — the photon vertex correction — was long held to diverge logarithmically.
| ファインマン図Feynman Diagram | 発散度Degree of Divergence | 状況Status |
|---|---|---|
| γ⁵ バーテックスの三角形図（π0 → 2γ）γ⁵ vertex triangle diagram (π0 → 2γ) | — | Finite |
| スカラーバーテックスの三角形図Scalar vertex triangle diagram | — | Finite |
| γᵘγ⁵ バーテックスの三角形図（Z0 → 2γ）γᵘγ⁵ vertex triangle diagram (Z0 → 2γ) | — | Finite |
| バーテックス補正（有限質量ベクトルボソン）Vertex correction (massive vector boson) | — | Finite |
| バーテックス補正（光子）[g-2 の計算]Vertex correction (photon) [the g−2 calculation] | 従来：対数発散Previously: logarithmic | 2026年に解決 — 有限Resolved 2026 — Finite |
最後にIn Closing
本当に、自然界には
「無限大」が必要なのだろうか。Does nature really
need "infinity" at all?
計算の途中に現れる無限大を処理するのではなく、最初から、物理的な観測量が有限になる理論を構築することはできないのか。Rather than processing an infinity that appears midway through the calculation — could a theory be built from the start so that the physical observable simply comes out finite?
この問いを突き詰めることが、量子場の理論をもう一度、第一原理から考え直すことにつながるのではないか。それが、私の現在の研究です。Pursuing this question, I believe, is what it means to rethink quantum field theory from first principles, once again. That is my current research.
より詳しく知りたい方へFor Those Who Want the Details
論文と研究資料The Paper and Related Materials
主な参考文献Key References
- J.R. Oppenheimer, Phys. Rev. 35, 461 (1930).
- V.F. Weisskopf, Z. Phys. 89, 27 (1934).
- S. Tomonaga, Prog. Theor. Phys. 1, 27 (1946) [1943年に日本語で発表 / originally published in Japanese, 1943].
- J. Schwinger, Phys. Rev. 74, 1439 (1948); Phys. Rev. 75, 651 (1949).
- R.P. Feynman, Phys. Rev. 76, 769 (1949).
- F.J. Dyson, Phys. Rev. 75, 486 (1949).
- J. Schwinger, Phys. Rev. 73, 416 (1948) — g-2 の最初の計算the first calculation of g−2.
- K. Nishijima, Fields and Particles, W.A. Benjamin, 1969.
- S.L. Adler, Phys. Rev. 177, 2426 (1969).
- J.S. Bell and R. Jackiw, Nuovo Cimento 60A, 47 (1969).
- T. Fujita, Symmetry and Its Breaking in Quantum Field Theory, Nova Science Publishers (1st ed. 2007 / 2nd ed. 2011).
- N. Kanda, R. Abe, T. Fujita, H. Kato, and H. Tsuda, "T-matrix of Z0 Decay into Two Photons," arXiv:1109.0926 (2011).
- T. Fujita and N. Kanda, Fundamental Problems in Quantum Field Theory, Bentham Publishers, 2013.
- J.D. Bjorken and S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, McGraw-Hill, 1964.